高数微分方程怎么做,
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y''+4y=0
特征方程根是λ=±2i
即齐次方程解为y=C1*cosx+C2*sinx
xsin^2x=x*(1-cos2x)/2=x/2-(1/2)xcos2x
非齐次函数部分分为x/2和(1/2)xcos2x
对于f(x)=x/2,最高次数为1
所以可设特解为yp=ax+b
代入y''+4y=x/2
就解得b=0,a=1/8,即yp=x/8了
对于f(x)=(1/2)xcos2x
所以特解yp=x^k*[(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x]
因为这里cos2x=Re{e^(2ix)}的λ为2i,为特征方程的单根,所以k取1
特解yp=x*[(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x]
代入y''+4y=(1/2)xcos2x
解得A=0,B=-1/32,C=-1/16,D=0
即yp=x/8-(1/32)xcos2x-(1/16)x^2sin2x
所以方程的通解为y=C1*cosx+C2*sinx+x/8-(1/32)xcos2x-(1/16)x^2sin2x
这里过程比较复杂,就不多说了,自己动手试试吧
特征方程根是λ=±2i
即齐次方程解为y=C1*cosx+C2*sinx
xsin^2x=x*(1-cos2x)/2=x/2-(1/2)xcos2x
非齐次函数部分分为x/2和(1/2)xcos2x
对于f(x)=x/2,最高次数为1
所以可设特解为yp=ax+b
代入y''+4y=x/2
就解得b=0,a=1/8,即yp=x/8了
对于f(x)=(1/2)xcos2x
所以特解yp=x^k*[(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x]
因为这里cos2x=Re{e^(2ix)}的λ为2i,为特征方程的单根,所以k取1
特解yp=x*[(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x]
代入y''+4y=(1/2)xcos2x
解得A=0,B=-1/32,C=-1/16,D=0
即yp=x/8-(1/32)xcos2x-(1/16)x^2sin2x
所以方程的通解为y=C1*cosx+C2*sinx+x/8-(1/32)xcos2x-(1/16)x^2sin2x
这里过程比较复杂,就不多说了,自己动手试试吧
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追问
什么意思啊
追答
设法都给你说了,哪里不明白就明说吧
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解:∵齐次方程y"+4y=0的特征方程是r^2+4=0,则r=±2i(复数根)
∴此齐次方程的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x) (C1,C2是常数)
∵y=x/8-xcos(2x)/32-x^2sin(2x)/16是原方程的一个特解
∴原方程的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x)+x/8-xcos(2x)/32-x^2sin(2x)/16。
∴此齐次方程的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x) (C1,C2是常数)
∵y=x/8-xcos(2x)/32-x^2sin(2x)/16是原方程的一个特解
∴原方程的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x)+x/8-xcos(2x)/32-x^2sin(2x)/16。
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追问
什么意思
追答
此题主要解法是:对应齐次方程的通解+原方程的一个特解=原方程的通解。难道到你一点都不懂吗?
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翻开你的学习辅导书,参照公式,一步一步的慢慢的看看条件成立的前提。做作业套公式即可
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