Question

关于XY的方程x2+y2=208(X-Y)的所有正整数解为

Answer 1

x^2+y^2=208(x-y)
x^2-208x+104^2+y^2+208y+104^2=2*104^2
(x-104)^2+(y+104)^2=2*104^2
这是一个以(104, -104)为圆心，104√2为半径的圆，可用参数方程表示为：
(x-104)/104√2=sinθ, (y+104)/104√2=cosθ
x=104√2sinθ+104=104*(√2sinθ+1), y=104√2cosθ-104=104*(√2cosθ-1)
x、y都是正整数，那么 104*(√2sinθ+1) 和 104*(√2cosθ-1) 同时为正整数
sinθ>-√2/2, cosθ>√2/2, 且sinθ和cosθ值的分母是104的约数，分子是√2的整数倍
（1）、分母为2：[(√2/2)A]^2+[(√2/2)B]^2=1
A^2+B^2=2
A=±1, B=±1，(舍去)
（2）、分母为4：[(√2/4)A]^2+[(√2/4)B]^2=1
A^2+B^2=8
A=±2, B=±2，(舍去)
（3）、分母为8：[(√2/8)A]^2+[(√2/8)B]^2=1
A^2+B^2=32
A=±4, B=±4，(舍去)
（4）、分母为13：[(√2/13)A]^2+[(√2/13)B]^2=1
A^2+B^2=169/2，(舍去)
（5）、分母为26：[(√2/26)A]^2+[(√2/26)B]^2=1
A^2+B^2=338
A=±7, B=±17，或者A=±17, B=±7 (舍去)
所以 x=160, y=32 或者 x=48, y=32 符合
（6）、分母为52：[(√2/52)A]^2+[(√2/52)B]^2=1
A^2+B^2=1352
A=±14, B=±34，或者 A=±26, B=±26 (舍去)，或者A=±34, B=±14 (舍去)
所以 x=160, y=32 或者 x=48, y=32 符合

综上，方程有两组正整数解：x=160, y=32 或者 x=48, y=32