Question

同余问题

m.n. 是正整数，证明：3^m+3^n+1不可能是完全平方数。

Answer 1

m,n是正整数，证明：3^m+3^n+1不可能是完全平方数
证：
完全平方数按奇偶分为两类：
1#: (2k+1)^2=4k(k+1)+1==1 mod 8.
2#: (2k)^2=4kk
易见f=3^m+3^n+1不可能形如2#.
假设f形如1#, (假设@1)
则有f==1 mod 8.不妨设m<=n,取n=m+a,即有f-1=3^m(1+3^a)==0 mod 8.(假设@2)
当a=2t时，3^a=9^t==1 mod 8;
当a=2t+1时，3^a=9^t*3==3 mod 8.
从而(假设@2)不成立，亦即(假设@1)不成立。
以上k,t均为自然数。
得证。

Answer 2

应用奇数完全平方数被8除余1这一性质。

证明：
显然3^m+3^n+1是奇数，因此如果它是完全平方数的话，应该除以8余1.
或者说3^m+3^n应该是8的倍数，不妨设m≤n，
由于3^m+3^n=3^m[1+3^(n-m)]，那么1+3^(n-m)应该是8的倍数。
但是这是不可能的，因为假如n-m是偶数，那么1+3^(n-m)除以8余2；
假如n-m是奇数，那么1+3^(n-m)除以8余4.都不是8的倍数。

所以要证的命题成立。