同余问题

m.n.是正整数,证明:3^m+3^n+1不可能是完全平方数。... m.n. 是正整数,证明:3^m+3^n+1不可能是完全平方数。 展开
WskTuuYtyh
2010-08-11 · TA获得超过1万个赞
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m,n是正整数,证明:3^m+3^n+1不可能是完全平方数
证:
完全平方数按奇偶分为两类:
1#: (2k+1)^2=4k(k+1)+1==1 mod 8.
2#: (2k)^2=4kk
易见f=3^m+3^n+1不可能形如2#.
假设f形如1#, (假设@1)
则有f==1 mod 8.不妨设m<=n,取n=m+a,即有f-1=3^m(1+3^a)==0 mod 8.(假设@2)
当a=2t时陆游,3^a=9^t==1 mod 8;
当a=2t+1时慧悉渗,3^a=9^t*3==3 mod 8.
从而(假设@2)不成立,亦即(假前脊设@1)不成立。
以上k,t均为自然数。
得证。
数论_高数
2010-08-09 · TA获得超过4847个赞
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应用奇数完全平方数被8除余1这一性质。

证明:
显然3^m+3^n+1是奇数,因此如果它是完全平方桥旁数敏念橡的话,应该除以8余1.
或者说3^m+3^n应该是高桐8的倍数,不妨设m≤n,
由于3^m+3^n=3^m[1+3^(n-m)],那么1+3^(n-m)应该是8的倍数。
但是这是不可能的,因为假如n-m是偶数,那么1+3^(n-m)除以8余2;
假如n-m是奇数,那么1+3^(n-m)除以8余4.都不是8的倍数。

所以要证的命题成立。
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