Question

求高手，急！！有关高中数学数列问题~

题目如图所示！
快快快，答案是An=n-1(n∈N*)
这是正确答案，我求的是过程！！
哪位高手告诉我解题过程？
感激不尽！！会追加分数的，谢谢~~
很急！！

Answer 1

当x≤0时，f(x)=2^x-1 是增函数，f(0)=0,g(0)=f(0)-0=0；
当x>0时,f(x)=f(x-1)+1,f(x)-f(x-1)=1,
当x∈(n-1,n](n是正整数)时，f(x)也是增函数，且
f(x)=f(x-1)+1==f(x-2)+2=f(x-3)+3=……=f(x-n)+n=2^(x-n)-1+n
g(x)=f(x)-x=2^(x-n)-1+n-x,g(n)=0,而x不为正整数时g(x)≠0
所以A1=0,A2=1,……，An=n-1 .

Answer 2

根据函数定义的
f(0)=0；
f(1)=f(0)+1=1;
f(2)=f(1)+1=2;
【第一数学归纳法】
f(n)=f(1)+n-1=n

g(x)=f(x)-x=0;
即求f(x)=x,
An=N才对
我觉得你的答案有点问题。。。

Answer 3

解：（一）先证明，在(-∞,0]上，函数g(x)=f(x)-x仅有一个零点x=0.当x≤0时，易知，f(x)=(2^x)-1.∴函数g(x)=(2^x)-1-x.求导得：g′(x)=[(2^x)㏑2]-1.当x≤0时，0＜2^x≤1,又0＜㏑2＜1.故[(2^x)㏑2]-1＜0,即g′(x)＜0,(x≤0).∴在(-∞,0]上，函数g(x)递减。显然g(0)=0.故命题得证。（二）接下来用第二归纳法证明，任意正整数均是函数g(x)的零点。（1）当0＜x≤1时，-1＜x-1≤0.函数f(x)=f(x-1)+1=[2^(x-1)].g(x)=f(x)-x=[2^(x-1)]-x.求导得：g′(x)=[2^(x-1)×㏑2]-1.由-1＜x-1≤0,同上可知，g′(x)＜0,即在(0,1]上，函数g(x)递减，且有g(1)=0.故在(0,1]上，函数g(x)仅一个零点x=1.(2)当1＜x≤2时，0＜x-1≤1,且-1＜x-2≤0.故函数f(x)=f(x-1)+1.f(x-1)=f(x-2)+1.两式相加得f(x)=f(x-2)+2=[2^(x-2)]+1.函数g(x)=f(x)-x=[2^(x-2)]-x+1.(1＜x≤2).同上可证在(1,2]上，函数g(x)递减，且g(2)=0.故在(1,2]上，函数g(x)仅一个零点x=2.（3）假设在(n-2,n-1]上，函数g(x)仅一个零点x=n-1.则当n-1＜x≤n时，-1＜x-n≤0.故f(x)=f(x-1)+1,f(x-1)=f(x-2)+1,...f(x-n+1)=f(x-n)+1,上面各式相加得：f(x)=f(x-n)+n=[2^(x-n)]+n-1.g(x)=f(x)-x=[2^(x-n)]+n-x-1.求导得：g′(x)=[2^(x-n)×㏑2]-1.(-1＜x-n≤0).同上可知，在(n-1＜x≤n上，有g′(x)＜0,故在(n-1,n]上，函数g(x)递减，且g(n)=0.故在(n-1,n]上，函数g(x)仅一个零点x=n.综上可知，函数g(x)的零得按序可排列为0,1,2,3,...故该数列的通项为an=n-1.(n=1,2,3,...)