Question

高三文科数学

设函数F（x）=x^3-(9/2)x^2+6x-a,问1.对于任意实数x,F'(x)≥m恒成立，求m的最大值？2.若方程F（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围？

要求有详细解答过程

Answer 1

解：
F'(x)=3x^2-9x+6
①F''(x)=6x-9
令F''(x)=0
解得x=3/2
又x<3/2时F'(x)<0
x>3/2时F'(x)>0
∴当x=3/2时 F'(x)有极小值
F'(3/2)=3*(3/2)^2+(3/2)*9+6=-(3/4)
∴F'(x)≥-(3/4)
∴m的最大值为 -(3/4)

②令F'(x)=0
3x^2-9x+6=0
3(x-1)(x-2)=0
解得：x1=1,x2=2
∴x<1或x>2时F'(x)>0
1<x<2时F'(x)<0
∴当x=1或x=2时 F(x)分别有极大值和极小值
∴只有当
F(1)=1^3-(9/2)*1^2+6*1-a=(5/2)-a<0
或者
F(2)=2^3-(9/2)*2^2+6*2-a=2-a>0
时 F(x)的图像与x轴只有一个焦点，及F(x)=0只有一个实根
解得 5/2<a<2

Answer 2

F'(x)=3(x*x-3x+2)
对称轴x=1.5
F'(x)>-0.75
m最大-2.25
导数在x=2,x=1处取0，这两点为极值点
F(x)先减后增后减，x=1极小,x=2极大
所以，f（1）>0或f(2)<0即可
2<a<2.5