高三文科数学
设函数F(x)=x^3-(9/2)x^2+6x-a,问1.对于任意实数x,F'(x)≥m恒成立,求m的最大值?2.若方程F(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围?要求...
设函数F(x)=x^3-(9/2)x^2+6x-a,问1.对于任意实数x,F'(x)≥m恒成立,求m的最大值?2.若方程F(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围?
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解:
F'(x)=3x^2-9x+6
①F''(x)=6x-9
令F''(x)=0
解得x=3/2
又x<3/2时F'(x)<0
x>3/2时F'(x)>0
∴当x=3/2时 F'(x)有极小值
F'(3/2)=3*(3/2)^2+(3/2)*9+6=-(3/4)
∴F'(x)≥-(3/4)
∴m的最大值为 -(3/4)
②令F'(x)=0
3x^2-9x+6=0
3(x-1)(x-2)=0
解得:x1=1,x2=2
∴x<1或x>2时F'(x)>0
1<x<2时F'(x)<0
∴当x=1或x=2时 F(x)分别有极大值和极小值
∴只有当
F(1)=1^3-(9/2)*1^2+6*1-a=(5/2)-a<0
或者
F(2)=2^3-(9/2)*2^2+6*2-a=2-a>0
时 F(x)的图像与x轴只有一个焦点,及F(x)=0只有一个实根
解得 5/2<a<2
F'(x)=3x^2-9x+6
①F''(x)=6x-9
令F''(x)=0
解得x=3/2
又x<3/2时F'(x)<0
x>3/2时F'(x)>0
∴当x=3/2时 F'(x)有极小值
F'(3/2)=3*(3/2)^2+(3/2)*9+6=-(3/4)
∴F'(x)≥-(3/4)
∴m的最大值为 -(3/4)
②令F'(x)=0
3x^2-9x+6=0
3(x-1)(x-2)=0
解得:x1=1,x2=2
∴x<1或x>2时F'(x)>0
1<x<2时F'(x)<0
∴当x=1或x=2时 F(x)分别有极大值和极小值
∴只有当
F(1)=1^3-(9/2)*1^2+6*1-a=(5/2)-a<0
或者
F(2)=2^3-(9/2)*2^2+6*2-a=2-a>0
时 F(x)的图像与x轴只有一个焦点,及F(x)=0只有一个实根
解得 5/2<a<2
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