Question

运筹学中已知原问题的解直接求对偶问题的解，其中原问题是用大M法求解的

原问题是:max 5X11+12x2+4x3
X1+2x2+x3<=5
2x1-x2+3x2=2
X1 x2 x3>=0
通过原问题的解直接求出其对偶问题的解

Answer 1

根据互补松弛条件
Y(b-AX)=0 (1)
(YA-c)X=0 (2)
其中c=[5 12 4]，b=[5 2]，A=[1 2 1;2 -1 3]
由原问题得到解X=[1.8 1.6 0]
根据互补松弛条件（1）得到原约束1，2均为紧条件，所以Y1和Y2都不为0
同时由于X的X3=0，所以对偶问题中的第三个条件是松条件
所以求解YA-c=0的前两个约束即可得到对偶问题的解。

Answer 2

In[1]:= Maximize[{5 x1 + 12 x2 + 4 x3, x1 + 2 x2 + x3 <= 5,
2 x1 - x2 + 3 x3 == 2, x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0}, {x1, x2, x3}]
Out[1]= {141/5, {x1 -> 9/5, x2 -> 8/5, x3 -> 0}}
得到一解：最大值为141/5。然后用此值代进去求解：
In[2]:= Solve[{5 x1 + 12 x2 + 4 x3 == 141/5, x1 + 2 x2 + x3 <= 5,
2 x1 - x2 + 3 x3 == 2, x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0}, {x1, x2, x3}]
Out[2]= {{x1 -> 9/5, x2 -> 8/5, x3 -> 0}}
结果只有一组，也说明上述解是唯一解。

Answer 3

根据互补松弛性容易得出对偶问题优解