Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（4，0）、E（-2，0）两点，

与y轴交于点B（0，2），连接AB。过点A作直线AK⊥AB，动点P从点A出发以每秒√5个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，经过P作PC⊥x轴，垂足为c，把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处。
（1）求抛物线的解析式。
（2）当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围。
（3）是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小，若存在请求出这个最小距离，若不存在说明理由。

Answer 1

⑴抛物线解析式就是求a,b,c，由已知条件，列方程组：
①16a+4b+c=0;②4a-2b+c=0;③c=2。
于是(a,b,c)=(-1/4,1/2,2)，即y=-1/4x^2+x/2+2。

⑵由题可知△ABP、△ADP、△ABO、△ACP均为直角三角形，△ACP与△ADP全等，且这两个三角形均与△ABO相似，∠OAB=∠ACP<45°。
当点D在△ABP的内部时，AC的长，即AD的长在0到BD'之间，D'为A到BP的垂点。AB=2√5。
△ABP的面积与时间关系为S1=√5*t*2√5/2=t/2，△ADP的面积S2=1/2*AC*CP=1/2*(√5*t*sin(∠CAP))*(√5*t*cos(∠CAP))=5/2t^2*2/5=.5t^2。
于是S=1/2(t-t^2)，t∈(0,1)

⑶由前面讨论可知，当P在A到AP射线上移动时，动点D在A到AD'的射线上移动，因此D到点O的距离最小时，ODP必在一条直线上。而由前面的讨论可知∠ACP<45°<60°，故OD'在三角形内，必然存在点D使得OD最小。
显然，∠OAD=180°-2∠CAP，因此OD=OAsin(∠OAD)=OAsin(2∠CAP)=2OAsin(∠CAP)cos(∠CAP)=2OA×2/5=16/5。

Answer 2

Answer 3