Question

数学难题，，，

Answer 1

说白了就是三角形全等的证明：

1、中线和高重合，三角形两边及其夹角相等   全等
2、高和角平分线重合，三角形3个角相等及2条边相等   全等
3、中线和角平分线重合  看图：

Answer 2

其实是3个小题目：
如果三角形一边上的中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形
如果三角形一边上的高和角平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形
如果三角形一边上的中线和角平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形

前两个小题，通过证明全等，很容易搞定。第一个是边角边，第二个是角边角
第三小题需要添加辅助线：倍长中线（类似平行四边形的形状）

Answer 3

证明：（1）在三角形ABC中，若AD是边BC上的中线，AD同时是BC边上的高，则有：AD=DA, DB=DC,角ADC=角ADB＝90度，三角形ABD全等于三角形ACD,（SAS）得：AB=AC.三角形ABC是等腰三角形。（2）若AD是边BC上的中线，AD同时是角A的平分线，过D作DE垂直于AB于E，作DF垂直于AC于F，则角AED=角AFE＝直角；由AD是角A的平分线有：角BAD=角CAD,又AD=DA，有三角形ADE与三角形ADF全等(AAS),DE=DF.又角DEB=角DFC＝直角，AD是中线，有BD=CD,三角形BDE与三角形CDF全等（两直角三角形全等的判定HL），角B=角C。三角形是等腰三角形；（3）若AD是边BC上的高，AD同时是角A的平分线，有角ADB=角ADC=直角；角BAD=角CAD,AD=DA,三角形ADB与三角形ADC全等（ASA）；AB＝AC，三角形是等腰三角形。

Answer 4

例题：先证明充分性再证必要性 已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中：{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）AB=AC(等腰三角形的性质)AD=AD（公共边）∴△ADB≌△ADC（SSS）可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）∴AD⊥BC得证① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。② 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。③ 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。如图，①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(ASA)∴AB=AC（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：∵AD是BC中线，∴S△ABD=S△ACD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，又∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∴AB=AC（等底等高）（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC综上所述，逆命题成立。