Question

一道关于数列的题目

已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1,设bn=1/n(an+3)(n∈N*）,Sn=b1+b2+...+bn,问是否存在最大的整数t，使得任意的n均有Sn>t/36总成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.

Answer 1

bn=1/n(2n+2)=1/2*1/[n(n+1)]=1/2*[1/n - 1/(n+1)]

Sn=1/2[1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + … + 1/n - 1/(n+1)]
=1/2[1 - 1/(n+1)]

n=1时,Sn最小,Sn=1/4
则t/36 < Sn
t/36<1/4
t<9
则最大整数t=8

呃..解释一下为什么要取Sn最小值吧
t/36 < Sn恒成立
则t/36要小于Sn的最小值
只有比Sn的最小值还小,上述不等式才恒成立

如果t/36>Sn恒成立
则t/36要大于Sn的最大值
只有比Sn的最大值还大,上述不等式才恒成立.

Answer 2

bn=1/n(2n+2)=1/2n(n+1)=
(1/2)*(1/n-1/(n+1)）
所以Sn=1/2*(1-1/2+1/2-1/3+.....-1/n+1)
=1/2*(n/n+1)=1/2*( 1/(1+1/n) )
当n=1时，Sn最小，为1/4
所以1/4>t/36，t=8