Question

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1 M是抛物线上Y2=X上的一点，动弦ME,MF分别交X轴于A，B两点，且MA=MB。(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值。(2)若M为动点，且角EMF为90度，求三角形EMF的重心G的轨迹。

2 已知抛物线Y2=-X与直线Y=K(X+1)相交于A,B两点 求证(1)OA垂直于OB （2）当三角形OAB面积为根号10时，求K的值。

Answer 1

设M(a,b)
直线ME:y=k(x-a)+b
直线MF：y=(-1/k)(x-a)+b
令y=0
得：X(ME)=-b/a+k X(MF)=bk+a
即，│OA│=-b/a+k, │OB│=bk+a
又│OB│-│OA│=│AB│
即│AB│=bk+b/k
又│OA│/2=b
即，bk+b/k=2b
则k=1
所以，ME:y=x-a+b,即x=y+a-b...①
MF:y=-(x-a)+b,即x=a+b-y...②
将①代入抛物线y^2=x
得：y1=1-b,x1=1+a-2b 即E(1+a-2b,1-b)
将②代入抛物线y^2=x
得：y2=-1-b,x2=1+a+2b 即F(1+a+2b,-1-b)
又M(a,b)
设重心G（x,y)
则x=(2+3a)/3
y=-b/3
即a=(3x-2)/3
b=-3y
又b^2=a
所以，y^2=(3x-2)/27为重心的方程

联立直线方程和抛物线方程得:
k^2x^2+2k^2x+k^2+x=0
k^2x^2+(2k^2+1)x+k^2=0
所以x1+x2=-(2k^2+1)/(-k^2)
x1x2=1
又OA.OB=x1x2+y1y2=1+k^2x1x2+k^2(x1+x2)+k^2=o
所以oa垂直ob

(2)
因为直线与x轴交与(-1.0)
所以S=1*(y1-y2)/2
又令直线:my=x+1
带入得:y^2+my-1=0
所以(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=m^2+4
所以m=±6
所以K=±1/6