Question

【高三数学】基本不等式的判断证明题目》》》

判断正误，写出证明过程：

(x^2+2)/根号(x^2+1)的最小值为2
(x^2+5)/根号(x^2+4)的最小值为2

写出过程和答案即可，谢谢！

Answer 1

(1)(x²+2)/根号(x²+1)＝【(x²+1)+1】/根号(x²+1)=

＝根号(x²+1)+1/根号(x²+1)
设 m=根号(x²+1)
∴ m+1/m≥2根号【m*(1/m)】
∴m+1/m≥2
∴(x^2+2)/根号(x^2+1)最小值 为2

(2)y=(x^2+4+1)/√(x^2+4)=√(x^2+4) + 1/√(x^2+4)≥2
等号当且仅当√(x^2+4) =1/√(x^2+4) 时取到此时x无解
故令√(x^2+4)=t t≥2
y=t+1/t 此函数在t≥2上是单调递增
故t=2时y最小值为5/2

抱歉，刚刚考虑不周。。。

Answer 2

（1）（√）
设sqrt（x方+1）=t(sqrt意为平方根)。
原式等于（t方+1）/t=t+1/t>=2sqrt（1）=2。
当且仅当t=1时取等号,成立。
所以（1）是对的。

(2)(×)
同理,设sqrt（x方+4）=t(sqrt意为平方根)。
原式等于（t+1）/t=t+1/t>=2sqrt（1）=2。
当且仅当t=1时取等号,不成立，考虑对钩函数的性质，
得：当x取0时取最小值为5/2。
所以（2）是错的。

Answer 3

1.令t=x^2+1,则只须证（t+1）/根号(t)的最小值为2.
由均值不等式（t+1）/根号(t)≥2*根号(t)/根号(t)=2，当且仅当t=1(x=0)时取等号。所以正确。
2.令t=x^2+4，则转化为第一题，当且仅当t=1(x^2=-3)时取等号,此时x为虚数，故2是取不到的，所以错。（事实上x=0时，第二题有最小值5/2）