计算三重积分xyzdxdydz，其中积分为球面x^2+y^2+z^2=1及三个坐标所围成的在第一卦
用球面坐标：
f=x^2+y^2=(rsinφcosθ)^2+(rsinφsinθ)^2=r^2*sin^2(φ)。
|J|=r^2*sinφ，r∈[1,2]，φ∈[0,π/2]，θ∈[0,2π]。
原积分=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]f|j|dr。
=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]r^4*sin^3(φ)dr。
=2π*[(2^5-1)/2}*2/3=124π/3。
3、积分区域关于平面x=0对称故元积分化为∫∫∫[Ω]zdv。
这道题很复杂，要以z=1为界讨论z的情况，如下图：
t<1时，用平面z=t截Ω得如下图形：
不难求出图形面积S(t)，f(t)=tS(t)。
当1<z<[3sqrt(17)-1]/4时，截面图形如下：
同样有f=tS(t)。
对t从0到1和从1到[3sqrt(17)-1]/4分别积分而后加和得到所要的答案。
扩展资料：
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成
②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
三重积分xyzdxdydz的结果等于1/48。
解：因为积分为球面x^2+y^2+z^2=1及三个坐标所围成的在第一卦，
那么积分域Ω是一个球心在原点，半径为1的球在第一挂限内的部分。
则可用球坐标计算。其中（0≦θ≦π/2，0≦φ≦π/2，0≦r≦1）。
Ω∫∫∫xyzdxdydz=Ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=Ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ
=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin³φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)
=(((r^6)/6)︱[0,1])*(((1/4)sin⁴φ)︱[0,π/2])*(((1/2)sin²θ)︱[0,π/2])
=(1/6)*(1/4)*(1/2)
=1/48
即Ω∫∫∫xyzdxdydz等于1/48。
扩展资料：
三重积分的计算方法
1、直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法。
（1）先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
（2）先二后一法（截面法），先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
2、柱面坐标法
适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设
x^2+y^2=a^2，x=asinθ，y=bsinθ。
区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合。
函数条件：f（x,y,z）为含有与x^2+y^2相关的项。
3、球面坐标系法
适用于被积区域Ω包含球的一部分。
区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥 面也可以；
函数条件：f（x,y,z）含有与x^2+y^2+z^2相关的项。
参考资料来源：百度百科-三重积分
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计算三重积分∫∫∫xzdxdydz，其中由平面z=y，z=0，y=1，以及抛物柱面y=x^2所围成的闭区域
如图所示
