Question

求方程x+y=xy的整数解（x,y均为整数）

求方程x+y=xy的整数解（x,y均为整数）

Answer 1

首先因为x^2-xy+y^2=(x-0.5y)^2+0.75y^2≥0，
现在题目说x+y=x^2-xy+y^2，所以x+y>=0。
下面说明如果原方程有整数解，那么解不可能出现负数。
否则，假设y<0.而x+y>=0,故xy<=0，
因而x^2-xy+y^2>=x^2+y^2，所以x>x+y>=x^2+y^2，但x是整数，
所以必有x<=x^2，而y^2>0，故得到x<=
x^2+y^2，矛盾！
同理，x也不可能是负数。于是x>=0,y>=0。
在x+y=x^2-xy+y^2两边同时乘以x+y，得到(x+y)^2=x^3+y^3，但是要注意到如果x,y都大于2的话，那么x^3+y^3=x*x^2+y*y^2>2x^2+2y^2，而（2x^2+2y^2）－(x+y)^2=(x-y)^2>=0。
因而x^3+y^3>2x^2+2y^2>=(x+y)^2，所以此时方程无整数解！从而可知x,y中至少有一个不超过2.。先假设x不超过2，但x又是非负整数，那么它只可能取0，1或2。
分别代入原方程解得x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。
同理假设y不超过2,也可得到(或由x,y的对称性得)
x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。
所以原不定方程的所有整数解为x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。一共有六组。

Answer 2

x=xy-y
x=(x-1)y
y=1+1/(x-1)
随便代数呗
x＝0
y＝0

x＝2
y＝2

x=3
y=1.5 不合题意舍去

x=4
Y=4/3 不合题意舍去

x=5
y=1.25 不合题意舍去

所以整数解为x＝0，y＝0和x＝2，y＝2

Answer 3

根据等式的对称性，x＝y，所以2x＝x^2，x＝0，y＝0或x＝2，y＝2

Answer 4

都是0 都是2