Question

微积分的一道题目求解

是一道关于微分中值定理的证明题，题目：设函数f（x）在区间[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+ f(1)+ f(2)=3，f(3)=1，试证必存在ξ,使f(ξ)=0.

Answer 1

题目给的不正确啊

设 f(x)=1
显然满足：f（x）在区间[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+ f(1)+ f(2)=3，f(3)=1

但是对任何ξ, f(ξ)=1

所以题目应该是求证：存在ξ,使f'(ξ)=0.

如此，只需往证存在点 0<=a<=2,使 f(a)=1,然后在【a，3】上应用罗尔中值定理即可。

不妨假设f（1）>=1,
则 f(2),f(3)中存在一个函数值小于等于1，
从而由连续函数的介值性定理
必存在一点 0<=a<=2,使 f(a)=1.
命题得证。