Question

多元微积分高数复合求导 第三题

Answer 1

解：
根据题意，设关于z的函数为：

z=z(x,y)
而：
u=x-2y
v=x+ay
因此：
x=(au+2v)/(2+a)
y=(v-u)/(2+a)
根据上述两式，可得：
∂x/∂u
=a/(2+a)
∂x/∂v
=2/(2+a)
∂y/∂u
=-1/(2+a)
∂y/∂v
=1/(2+a)
在z=z(x,y)中，将x,y视为u，v的函数，则：
∂z/∂u
=(∂z/∂x)·(∂x/∂u)+(∂z/∂y)·(∂y/∂u)
=z'x· [a/(2+a)]+z'y·[-1/(2+a)]
∂z/∂u∂v
=[a/(2+a)]·[z''x·(∂x/∂v)+z''xy·(∂y/∂v)]+[-1/(2+a)]·[z''yx·(∂x/∂v)+z''yy·(∂y/∂v)]
=[a/(2+a)]·{z''x·[2/(2+a)]+ z''xy·[1/(2+a)]}+[-1/(2+a)]·{z''yx·[2/(2+a)]+z''yy·[1/(2+a)]}
=z''x·[2a/(2+a)²]+z''xy·[a/(2+a)²]+z''yx·[-2/(2+a)²]+z''yy·[-1/(2+a)²]
根据已知，z=z(x,y)二阶可导，这里缺少二阶连续条件，否则混合偏导不知道是否相等

该题不是很严谨，请核对一下！