Question

函数问题

已知函数f(x)为二次函数，不等式f(x)=2<0的解集为 （-1，1/3），且对任意的M，N∈R，恒有f（sinM）<=0,f(2+cosN)>=0
（1）若数列An满足A1=1，3A(n+1)=1-1/(f(An+1)-f(An)-1.5),求An通项公式
（2）设Bn=1/An,在（2）的条件下，若数列Bn的前n项和为Sn，求数列Sn*cos(Bn*圆周率)的前n项和Tn

Answer 1

首先，题目第一行应该是打错了，应该是“f(x)+2<0”吧。
根据f(x)+2<0的解集为 （-1，1/3），可知
f(-1）+2=0
f(1/3)+2=0
由于对任意的M，N∈R，恒有f（sinM）<=0,f(2+cosN)>=0，
令M=π/2,N=π，得
f(1)<=0，f(1)>=0，
所以f(1)=0
三点确定二次函数f(x)的表达式为
f(x)=3/2x²+x-5/2
代入3A(n+1)=1-1/(f(An+1)-f(An)-1.5)
化简可得，
3A(n+1)=1-1/(3An+1)
A(n+1)=An/(3An+1)
另Bn=1/An,
则B1=1
1/B(n+1)=1/(Bn+3)
即B(n+1)=Bn+3
所以Bn=3n-2
An=1/(3n-2)

(2)Sn=n(3n-1)/2，
记Cn=Sn*cos(Bn*π)=n(3n-1)/2*cos(3nπ-2π)
则n为奇数时Cn=-Sn，
n为偶数时Cn=Sn，
考虑{Cn}相邻两项的和
C(2k+1)+C(2k+2)=-S(2k+1)+S(2k+2)
=B(2k+2)
所以要求Tn的表达式需要讨论n为奇数或偶数两种情况
当n为奇数时，
Tn=B2+B4+……+B(n-1)-Sn=(3n-1)(n-1)/4-n(3n-1)/2=-(3n-1)(n+1)/4；
当n为偶数时，
Tn=B2+B4+……+B(n)=n(3n+2)/4

好难这题~