Question

几道三角恒等变形题目

1. 已知sinα+sinβ=√2,cosα+cosβ=2√3/3,求cos(α-β).
2. 求证:(sin²α+tanα•tan(α/2)+cos²α) •sin²α/2cosα=tanα.
3. 已知：tan(α/2)=2,求6sinα+cosα/3sinα-2cosα的值.
4. 求证：cos²α/(cot(α/2)-tan(α/2))=1/4sin2α.
5. 已知：sin²2α+sin2αcosα-cos2α=1, α∈(0,π/2),求sinα,tanα.
第2题：求证:(sin²α+tanα•tan(α/2)+cos²α) •(sin²α/2cosα)=tanα.
另外补充几道题：
6.化简
｛sin[(k+1)π+θ]•cos[(k+1)π-θ]｝/[sin(kπ-θ)cos(kπ+θ)] (k∈Z).
7.已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0, α∈[π/2,π],求sin(2α+π/3)的值.
8.求值：4sin²55°+cos10°+tan20°sin10°

Answer 1

1.
sinα+sinβ=√2(平方)
(sinα+sinβ)^2=2
(sinα)^2+2sinαsinβ+(sinβ)^2=2........1

cosα+cosβ=2√3/3(平方)
(cosα+cosβ)^2=4/3
(cosα)^2+2cosαcosβ+(cosβ)^2=4/3.........2

1式+2式得
2cosαcosβ+2sinαsinβ=10/3
cosαcosβ+sinαsinβ=5/3
cos(α-β)=5/3

2.题目有误

[(sinα)^2+tanα*tan(α/2)+cosα) ^2]*sin2α/2cosα
=[1+tanα*tan(α/2)]*sin2α/2cosα
={1+2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]*tan(α/2)}*sin2α/2cosα
={1+2tan^2(α/2)/[1-tan^2(α/2)]}*sin2α/2cosα
=[1+tan^2(α/2)]/[1-tan^2(α/2)]*sin2α/2cosα
=[sec(α/2)]^2 /[1-tan^2(α/2)]*sin2α/2cosα
=[sec(α/2)]^2 /{2-[sec(α/2)]^2)]*sin2α/2cosα
=1/[2/sec^2(α/2)-1]*sin2α/2cosα
=1/[2cos^2(α/2)-1]*sin2α/2cosα
=1/cosα*sin2α/2cosα
=1/cosα*2inαcosα/2cosα
=snα/cosα
=tanα.

3.
tanα/2=2
tanα=2tanα/2/[1-tan^2α/2]
=2*2/[1-4]
=-4/3

(6sinα+cosα)/(3sinα-2cosα)上下同除cosα
=(6tanα+1)/(3tanα-2)
=[6*(-4/3)+1]/[3*(-4/3)-2]
=7/6

4.
(cosα)^2/[cot(α/2)-tan(α/2)]
=(cosα)^2 /[(1+cosα)/sinα]-[(1-cosα)/sinα]
=(cosα)^2/(2cosα/sinα)
=1/2 *sinαcosα
=1/4 *2sinαcosα
=1/4sin2α

注： (1/cotθ/2)=tanθ/2=sinθ/(1+cosθ)=(1-cosθ)/sinθ

5.
(sin2α)＾2+sin2αcosα-cos2α=1
4(sinα)＾2*(cosα)＾2+2sinα*(cosα)＾2-[2(cosα)＾2-1]=1
4(sinα)＾2*(cosα)＾2+2sinα*(cosα)＾2-2(cosα)＾2=0
因为 α∈(0,π/2),所以cosα≠0
所以2(sinα)＾2+sinα-1=0
(2sinα-1)*(sinα+1)=0
(sinα)1=1/2，(sinα)2=-1[舍去， α∈(0,π/2)，sinα>0]
所以sinα=1/2，
α=π/6
cosα=√3/2
tanα=sinα/cosα=√3/3

Answer 2

sinα+sinβ=√2,cosα+cosβ=2√3/3,求cos(α-β).
cos(α-β)=sinαsinβ+cosαcosβ
sinαsinβ=<(sinα+sinβ)平方-1>/2=0.5
同理，cosαcosβ=1/6
cos(α-β)=2/3