Question

一道不等式数学题

已知a，b，c≥0，求证：a√a + b√b + c√c≥a√b + b√c + c√a .

Answer 1

设√a=x，√b=y，√c=z
原式即可化为 x³+y³+z³≥x²y+y²z+z²x，且x≥0，y≥0，z≥0，

∵ x²-2xy+y²≥0
∴ x²-xy+y²≥xy
∵ x+y≥0
∴ (x+y)(x²-xy+y²)≥xy(x+y)
即 x³+y³≥x²y+xy²……①

同理可得，y³+z³≥y²z+yz²……②，x³+z³≥x²z+xz²……③
①，②，③式相加得
2(x³+y³+z³)≥x²y+xy²+y²z+yz²+x²z+xz²
即2(x³+y³+z³)≥(x²y+y²z+z²x)+ (x²z +y²x+z²y)

因为x²y+y²z+z²x与x²z +y²x+z²y等价
不妨设x²y+y²z+z²x≥x²z +y²x+z²y

∴2(x³+y³+z³)≥(x²y+y²z+z²x)+ (x²z +y²x+z²y)≥2(x²z +y²x+z²y)
即x³+y³+z³≥x²z +y²x+z²y

同样当x²y+y²z+z²x≤x²z +y²x+z²y时，
x³+y³+z³≥x²y+y²z+z²x

所以x³+y³+z³必大于x²y+y²z+z²x和x²z +y²x+z²y其中的一个

又因为x²y+y²z+z²x和x²z +y²x+z²y等价，都是关于x，y，z的三次三项轮换对称式（即齐次轮换式），

所以 它们和x³+y³+z³的关系相同

所以x³+y³+z³≥x²y+y²z+z²x且x³+y³+z³≥x²z +y²x+z²y

再把√a=x，√b=y，√c=z代回

所以a√a+b√b+c√c≥a√b+b√c+c√a

原式得证

【希望对你有帮助】

Answer 2

意思不明