Question

高中函数的周期性，对称性，对称轴。

Answer 1

函数的周期性

令a , b 均不为零，若：

1. 函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|

2. 函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|

3. 函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|

4. 函数y = f(x) 存在 f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期 T=|2a|

5. 函数y = f(x) 存在 f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期 T=|4a|

第一个：f(a+x)=f(b-x)的对称轴是x=(a+b)/2

注意这个是一个轴对称的函数图像，是一个图像先要知道一个关系：

如果f(a+x)=f(a-x),那么关于x=a对称并且可以通过令y=a+x

可以推论：如果f(x)=f(2a-x),

那么关于x=a对称

所以我们根据这个道理做变换:令y=a+x,则x=y-a

那么f(y)=f[(b+a)-y] 所以对称轴是x=(a+b)/2

第二个：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的对称轴是x=(b-a)/2

注意这个是两个函数图像关于轴对称 ，区别于第一个问题我们知道f(a+x)

表示把f(x)向左平移a个单位，而f(b-x)表示把f(x)先关于y轴翻折再向右平移b个单位。

这样，图像的形状其实没有改变，并且正好左右对称，不过对称轴不是y轴了，而是x=b与x=-a的中间直线，所以中间的位置表示就是x=(b-a)/2

扩展资料：

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

设f是一个从实数集的子集射到 的函数：f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

f在点c上有定义。c是其中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f（x） 的极限都存在且等于f（c）。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。

不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。

仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：

对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的δ，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。

参考资料：百度百科——函数

Answer 2

函数的周期性
令a
,
b
均不为零，若：
1.
函数y
=
f(x)
存在
f(x)=f(x
+
a)
==>
函数最小正周期
T=|a|
2.
函数y
=
f(x)
存在f(a
+
x)
=
f(b
+
x)
==>
函数最小正周期
T=|b-a|
3.
函数y
=
f(x)
存在
f(x)
=
-f(x
+
a)
==>
函数最小正周期
T=|2a|
4.
函数y
=
f(x)
存在
f(x
+
a)
=1/f(x)
==>
函数最小正周期
T=|2a|
5.
函数y
=
f(x)
存在
f(x
+
a)
=
[f(x)
+
1]/[1
–
f(x)]
==>
函数最小正周期
T=|4a|
第一个：f(a+x)=f(b-x)的对称轴是x=(a+b)/2
注意这个是一个轴对称的函数图像，是一个图像先要知道一个关系：
如果f(a+x)=f(a-x),那么关于x=a对称并且可以通过令y=a+x
可以推论：如果f(x)=f(2a-x),
那么关于x=a对称
所以我们根据这个道理做变换:令y=a+x,则x=y-a
那么f(y)=f[(b+a)-y]
所以对称轴是x=(a+b)/2
第二个：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的对称轴是x=(b-a)/2
注意这个是两个函数图像关于轴对称
，区别于第一个问题我们知道f(a+x)
表示把f(x)向左平移a个单位，而f(b-x)表示把f(x)先关于y轴翻折再向右平移b个单位。
这样，图像的形状其实没有改变，并且正好左右对称，不过对称轴不是y轴了，而是x=b与x=-a的中间直线，所以中间的位置表示就是x=(b-a)/2
扩展资料：
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
设f是一个从实数集的子集射到
的函数：f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
f在点c上有定义。c是其中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f（x）
的极限都存在且等于f（c）。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。
不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。
仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：
对于任意的正实数，存在一个正实数δ>
0
使得对于任意定义域中的δ，只要x满足c
-
δ<
x
<
c
+
δ，就有成立。
参考资料：搜狗百科——函数

Answer 3

f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称 f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于 x=(a+b)/2 对称 f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点 （a，0）对称 f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称 f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点 [（a+b）/2 ，c/2] 对称 y = f(x) 与 y = f(-x) 关于 x=0 对称 y = f(x) 与 y = -f(x) 关于 y=0 对称 y =f(x) 与 y= -f(-x) 关于点 (0,0) 对称
例1：证明函数 y = f(a+x) 与 y = f(b-x) 关于 x=(b-a)/2 对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n）， 那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]
∴ b – 2t =a ， ==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为 x=(b-a)/2 .
例2：证明函数 y = f(a - x) 与 y = f(x – b) 关于 x=(a + b)/2 对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n）， 那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]
∴ 2t - b =a ， ==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为 x=(a + b)/2 .
二、函数的周期性
令a , b 均不为零，若：
1. 函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
2. 函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
3. 函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
4. 函数y = f(x) 存在 f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
5. 函数y = f(x) 存在 f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期 T=|4a|