∫√x²+9dx= 10
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这里实际上是基本公式的推导，
∫√(x² + a²) dx
x = atanz,dx = asec²z dz
原式 = ∫ (asecz)(asec²z) dz
= a²∫ sec³z dz = a²I
I = ∫ sec³z dz = ∫ secz dtanz
= secztanz - ∫ tanz dsecz
= secztanz - ∫ tan²zsecz dz
= secztanz - ∫ (sec²z - 1)secz dz
= secztanz - I + ∫ secz dz
2I = secztanz + ∫ secz dz
I = (1/2)secztanz + (1/2)ln|secz + tanz| + C,where ∫ secz dz = ln|secz + tanz|
= (1/2)[x/a][√(x² + a²)/a] + (1/2)ln|x/a + √(x² + a²)/a| + C
= [x/(2a²)]√(x² + a²) + (1/2)ln|x + √(x² + a²)| + C
所以在a=3的时候，得到
原式 =9I = (x/2)√(x²+9) + 9/2 *ln|x + √(x² + a²)| + C
∫√(x² + a²) dx
x = atanz,dx = asec²z dz
原式 = ∫ (asecz)(asec²z) dz
= a²∫ sec³z dz = a²I
I = ∫ sec³z dz = ∫ secz dtanz
= secztanz - ∫ tanz dsecz
= secztanz - ∫ tan²zsecz dz
= secztanz - ∫ (sec²z - 1)secz dz
= secztanz - I + ∫ secz dz
2I = secztanz + ∫ secz dz
I = (1/2)secztanz + (1/2)ln|secz + tanz| + C,where ∫ secz dz = ln|secz + tanz|
= (1/2)[x/a][√(x² + a²)/a] + (1/2)ln|x/a + √(x² + a²)/a| + C
= [x/(2a²)]√(x² + a²) + (1/2)ln|x + √(x² + a²)| + C
所以在a=3的时候，得到
原式 =9I = (x/2)√(x²+9) + 9/2 *ln|x + √(x² + a²)| + C
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佛山泰升塑胶公司科技
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