高中函数导数题，求解呀各位
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f(x)=ln(ex)-kx
定义域x>0
Ⅰ f'(x)=1/x-k
当k≤0，f'(x)>0,全定义域单调递增
即单调递增区间x∈(0,+∞)
当k>0，驻点x=1/k
f''(x)=-1/x²<0 f(1/k)为极大值
∴单调递增区间x∈(0,1/k),单调递减区间x∈(1/k,+∞)
Ⅱ由Ⅰ知，k≤0,lim(x→+∞)f(x)→+∞,不等式不恒成立
当k>0，极大值f(1/k)≤0 不等式恒成立
∴ln(e/k)-1≤0→e/k≤e→k≥1
Ⅲ令g(x)=lnx/(x+1)-x/2 x≥2
g'(x)=[(x+1)/x-lnx]/(x+1)²-1/2=-(2xlnx+x³+2x²-x-2)/x(x+1)²
令h(x)=-(2xlnx+x³+2x²-x-2)
h'(x)=-(2lnx+3x²+4x+1)<0
h(x)<h(1)=0
∴g'(x)<0 g(x)单调递减
g(x)≤g(2)<0
∴lnx/(x+1)<x/2
ln2/3+ln3/4+...+lnn/(n+1)<2/2+3/2+4/2+...+n/2<½(1+2+...+n)=n(n-1)/4
定义域x>0
Ⅰ f'(x)=1/x-k
当k≤0，f'(x)>0,全定义域单调递增
即单调递增区间x∈(0,+∞)
当k>0，驻点x=1/k
f''(x)=-1/x²<0 f(1/k)为极大值
∴单调递增区间x∈(0,1/k),单调递减区间x∈(1/k,+∞)
Ⅱ由Ⅰ知，k≤0,lim(x→+∞)f(x)→+∞,不等式不恒成立
当k>0，极大值f(1/k)≤0 不等式恒成立
∴ln(e/k)-1≤0→e/k≤e→k≥1
Ⅲ令g(x)=lnx/(x+1)-x/2 x≥2
g'(x)=[(x+1)/x-lnx]/(x+1)²-1/2=-(2xlnx+x³+2x²-x-2)/x(x+1)²
令h(x)=-(2xlnx+x³+2x²-x-2)
h'(x)=-(2lnx+3x²+4x+1)<0
h(x)<h(1)=0
∴g'(x)<0 g(x)单调递减
g(x)≤g(2)<0
∴lnx/(x+1)<x/2
ln2/3+ln3/4+...+lnn/(n+1)<2/2+3/2+4/2+...+n/2<½(1+2+...+n)=n(n-1)/4
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