Question

如何验证微分方程的特解

像图片的这种选择题，如果为了简便，直接将特解带入原方程验证，这个怎么验证啊。通解都还好，直接带进去看是否相等，特解怎么带。特别是第二张图片的C选项，是 e^y=-(e^x-2)这种怎么带





Answer 1

特解一要验证是否满足微分方程，二要验证是否满足初始条件。
14 选项 C ， y = ln[e^x+e^(-x)] - ln2, y(0) = 0;
则 y' = [e^x-e^(-x)]/ [e^x+e^(-x)] = [e^2x-1]/ [e^2x+1] = 1 - 2/(e^2x+1).
y'(0) = 0
y'' = 4e^2x/(e^2x+1)^2
y''+(y')^2 = 4e^2x/(e^2x+1)^2 + [1 - 2/(e^2x+1)]^2
= 4e^2x/(e^2x+1)^2 + 4/(e^2x+1)^2 - 4/(e^2x+1) + 1
= [4e^2x+4 - 4(e^2x+1)] / (e^2x+1)^2 + 1 = 1
故 选项 C 正确。

追问

不好意思哈，有个没看懂，二要验证满足初始条件，14题选项C的初始条件是Y(0)=0吗？在哪里验证的呢？

追答

y = ln[e^x+e^(-x)] - ln2, y(0) = ln2 - ln2 = 0 正确