Question

趣味数学问题

小明和小王是两足球迷，同时又都对趣味数学题感兴趣。一次在看足球比赛时，小明对小王说：“我知道红队有20名队员，编号正好是从1--20，他们今天上场的11名队员中一定有一名队员的号码是另一名队员号码的偶数倍。”小王听后点点头接着说：“我还知道，红队的场上队员中每四名队员必有两名队员号码之差是3的倍数。”你知道他们都是怎样得出这些结论吗？

Answer 1

把20名队员的编号按以下方法分成十组：（1，2，4，8，16），（3，6，12），（5，10，20），（7，14），（9，18），11，13，15，17，19。
那么从中任选11个数，必有两个数在前五组中的同一组。而前五组中每组中的两个数都是偶倍数关系，由此得出小明所说的结论。

因为每四名队员的号码肯定有两名对于3是同余的，他们的差肯定是3的倍数，由此得出小王的结论。

Answer 2

1。设此1位学生中号码最小的为a
①a为奇数，则至多有10为学生满足必为奇数（1,3,5,7,9,11,13,15,17,19）还有一名必为偶数，则必定是其中一个数的偶数倍
②a为偶数同理为2,3,5,7,9,11,13，15,17,19
2。可理解为四人中两两之差至少有一组为三的倍数，同上运用反证法证明

Answer 3

明：11名队员，就算把奇数号的队员都算上，1、3、5、7、9、11、13、15、17、19也只有十名，所以必在加一名偶数号队员。因此，无论加上任何偶数，都会是1的偶数倍；若去掉1则只能再加上两个偶数才够11人，而这两个偶数必有一个是另一个的偶数倍。
王：与1之差为3的倍数的数：4、7、10、13、16、19
与2之差为3的倍数的数：5、8、11、14、17、20
与3之差为3的倍数的数：6、9、12、15、18
上三横行共20数，每行中的任两数之差必为3的倍数，但不同横行中的任两个数之差都不会是3的倍数。
要任选四个数，即使分别从每行中任挑一数后，这三数任两数之差必不会是3的倍数。但还需再选一数才够四个数。则无论从哪行选最后的一个数，都会与之前在此横行选的数之差为3的倍数。

Answer 4

1．前提是另一队队员的号码必须有1--10的编号，而题目中没有明确另一队 队员的编号范围，所以小王仅点点头，而未明确赞同或反对．
2．如果上场队员都是单号加一个双号，仅在含有双号的四名队员中，有两名队 员的号码之差是3的倍数．
结论：当另一队队员的号码有1--10的编号时，小明的结论是正确的．
另外，将”每四名队员”删去后，小王的结论是正确的．