Question

三棱锥的三棱锥顶点射影与底面三角形的“心”

Answer 1

设有三棱锥P-ABC，P在平面ABC上的射影为O，现讨论当三棱锥满足什么条件时，O分别是△ABC的外心、内心、旁心、重心、垂心（三角形五心）。 若O是△ABC的外心，则OA=OB=OC。由于OP⊥平面ABC（射影的定义），因此OP⊥OA、OP⊥OB、OP⊥OC。勾股定理得PA=PB=PC。又tanPAO=OP/OA，tanPBO=OP/OB，tanPCO=OP/OC，由此可知∠PAO=∠PBO=∠PCO。
综上，可得到以下定理： 当三棱锥的三条侧棱相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的外心。 当三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的外心。 若O是△ABC的内心，则O到三边距离相等，且O在△ABC内。设O到BC、AC、AB的垂线段分别为OD、OE、OF，那么OD=OE=OF。由勾股定理得PD=PE=PF。又tanPDO=OP/OD，tanPEO=OP/OE，tanPFO=OP/OF，因此∠PDO=∠PEO=∠PFO。且由三垂线定理可知PD⊥BC、PE⊥AC、PF⊥AB，即∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是二面角P-BC-A、P-AC-B、P-AB-C的平面角。
综上，可得到以下定理： 当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的内部，那么射影是内心。 当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的内部，那么射影是内心。 若O是△ABC的垂心，则有OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB。又因为O是P的射影，由三垂线定理可知PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB。推广来看，从PA⊥BC可以联想到PA⊥平面PBC，而根据线面垂直的判定定理，PA⊥平面PBC的条件是PA⊥PB，PA⊥PC。同理，PB⊥PA，PB⊥PC；PC⊥PA，PC⊥PB。即PA、PB、PC两两垂直。
综上，可得到以下定理： 当三棱锥的三条侧棱两两垂直（或每条侧棱都与所对的侧面垂直）时，顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。 当三棱锥有两条侧棱与对应的对边垂直时，第三组侧棱与对边也垂直，且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。 定理： 当三棱锥的任一侧棱的平方的3倍与其对棱平方之和为定值时，该三棱锥的顶点在底面上的射影是底面的重心。