Question

三道线性代数题目，求大神详细过程😭😭😭

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Answer 1

第1题

矩阵有一个特征值为0，则行列式等于0

将行列式化最简行：

1 1 1

1 a 1

a 1 1

->

1 1 1

0 a-1 0

0 1-a 1-a

->

1 1 1

0 a-1 0

0 0 1-a

因此行列式|A|=(a-1)^2=0

则a=1

下面求特征值

再求相应的特征向量

将这3个特征向量施密特正交化，

先正交化：

(-1,1,0)T -> (-1,1,0)T

(-1,0,1)T -> (-1,0,1)T - (-1,1,0)T/2 = (-1,-1,2)T/2

(1,1,1)T -> (1,1,1)T

再单位化：

(-1,1,0)T -> (-1,1,0)T/√2

(-1,-1,2)T/2 ->  (-1,-1,2)T/√6

(1,1,1)T -> (1,1,1)T/√3

得到正交矩阵Q=

-1/√2 -1/√6 1/√3

1/√2 -1/√6 1/√3

0 2/√6 1/√3

使得

Q⁻¹AQ=diag(0,0,3)

第2题

这3个特征向量，显然是正交的，下面对其单位化，得到

(0,1,0)T -> (0,1,0)T

(-1,0,1)T -> (-1,0,1)T/√2

(1,0,1)T-> (1,0,1)T/√2

因此，得到正交矩阵Q=

0 -1/√2 1/√2

1 0 0

0 1/√2 1/√2

使得

Q⁻¹AQ=diag(0,-1,1)

第3题

为方便计算，将第1、3个特征向量，乘以2，得到

(-1/2,1,0)T -> (-1,2,0)T

(1,1/2,1)T -> (2,1,2)T

将这3个特征向量施密特正交化，

先正交化：

(-1,2,0)T -> (-1,2,0)T

(-1,0,1)T-> (-1,0,1)T - (-1,2,0)T/5 = (-4,-2,5)T/5

(2,1,2)T -> (2,1,2)T

再单位化：

(-1,2,0)T -> (-1,2,0)T/√5

(-4,-2,5)T/5 ->  (-4,-2,5)T/3√5

(2,1,2)T -> (2,1,2)T/3

得到正交矩阵Q=

-1/√5 -4/3√5 2/3

2/√5 -2/3√5 1/3

0 √5/3 2/3

使得

Q⁻¹AQ=diag(-3,-3,6)