Question

线性代数证明问题

设n阶矩阵A,B和A+B均可逆，证明
A逆+B逆 也可逆，求出逆矩阵的值
再证明（A+B）的逆

Answer 1

显然，若两个矩阵都可逆，那么他们的乘积可逆
故（A+B）*A逆=I+B*A逆 可逆
而A逆+B逆=（I+B*A逆）*B逆 可逆
显然，B*（A逆+B逆）=I+B*A逆
（I+B*A逆）*A=（A+B）
（A+B）逆*（A+B）=I
故（A+B）逆*B*（A逆+B逆）*A=I
所以（A逆+B逆）的逆就是A*（A+B）逆*B
（A+B）逆就是B*（A逆+B逆）*A

Answer 2

A逆+B逆=A逆×（B+A）×B逆
由已知
A逆，（B+A），B逆 都可逆，可逆的乘积仍可逆，所以
A逆+B逆 也可逆

A逆+B逆的逆=B×（A+B)的逆×A。