Question

设a+b＞0a≠b，n∈N，n≥2，用数学归纳法证明（a+b/2)^n＜（a^n+b^n)/2

Answer 1

∵a+b＞0a≠b
第一步，当n=1时，不等式显然成立。
第二步，假设n=k时，不等式成立。即有(a^k+b^k)/2>[(a+b/2)]^k
那么，两边同时乘以（a+b/2),可得
（a+b/2)(a^k+b^k)/2>（[(a+b/2)]^（k+1）
左边=[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2
>[a^(k+1)+b^(k+1)]/2
即n=k+1时成立。
第三步，由一和二可知，n=1时成立，则n=2时成立，则n=3时成立……类推，对任意n不等式都成立