已知函数f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4)。
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(1)容易求出 f'(x)=3kx^2-6(k+1)x. 因为 f(x) 的单调减区间为 (0,4)，所以 0 和 4 均为 f(x) 的极值点，也就是 f'(x) 的零点。即 f'(0)=f'(4)=0. 由 f'(4) = 48k-24(k+1) = 0 即可求得 k=1.
(2)要证 x>1 时，x^3>2-x.
记函数 g(x) = x^3+x-2. 则 g'(x)=3x^2+1. 显然 g'(x)>0 对任意x成立，特别地，对 x>1 也成立。因此函数 g(x) 在 x>1 时是增函数，从而 g(x)>g(1)=0，即 x>1 时有 x^3+x-2>0，即 x^2>2-x.
(2)要证 x>1 时，x^3>2-x.
记函数 g(x) = x^3+x-2. 则 g'(x)=3x^2+1. 显然 g'(x)>0 对任意x成立，特别地，对 x>1 也成立。因此函数 g(x) 在 x>1 时是增函数，从而 g(x)>g(1)=0，即 x>1 时有 x^3+x-2>0，即 x^2>2-x.
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