求解积分
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解:令t=arcsinx,则有x=sint,故dx=costdt(第二换元法)
原式=∫{t[1+(sint)^2]}costdt/[(sint)^2×cost]
=∫t[1+(csct)^2]dt
=∫tdt+∫t(csct)^2dt
=(1/2)t^2+C1+∫-td[cot(t)]
=(1/2)t^2+C1+[-tcot(t)+∫cot(t)dt](分部积分法)
=(1/2)t^2+C1-tcot(t)+∫(cost/sint)dt
=(1/2)t^2+C1-tcot(t)+∫(1/sint)d(sint)
=(1/2)t^2+C1-tcot(t)+ln|sint|+C2
=(1/2)t^2-tcot(t)+ln|sint|+C
代入有:
原式=(1/2)(arcsinx)^2-(arcsinx)cot(arcsinx)+ln|x|+C
=(1/2)(arcsinx)^2-(arcsinx)√(1-x^2)/x+ln|x|+C
注:此题中主要使用了不定积分的第二换元法和分部积分法
原式=∫{t[1+(sint)^2]}costdt/[(sint)^2×cost]
=∫t[1+(csct)^2]dt
=∫tdt+∫t(csct)^2dt
=(1/2)t^2+C1+∫-td[cot(t)]
=(1/2)t^2+C1+[-tcot(t)+∫cot(t)dt](分部积分法)
=(1/2)t^2+C1-tcot(t)+∫(cost/sint)dt
=(1/2)t^2+C1-tcot(t)+∫(1/sint)d(sint)
=(1/2)t^2+C1-tcot(t)+ln|sint|+C2
=(1/2)t^2-tcot(t)+ln|sint|+C
代入有:
原式=(1/2)(arcsinx)^2-(arcsinx)cot(arcsinx)+ln|x|+C
=(1/2)(arcsinx)^2-(arcsinx)√(1-x^2)/x+ln|x|+C
注:此题中主要使用了不定积分的第二换元法和分部积分法
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