Question

求线性代数大神！第一大题 第一第三小问！谢过了，最好写详细一点！

Answer 1

这种题很麻烦。
(1) |λE-A| =
| λ 0 -1|
| 0 λ 0|
|-1 0 λ|
|λE-A| = λ(λ^2-1)
得特征值 λ = -1， 0， 1
对于 λ = -1，λE-A =
[-1 0 -1]
[ 0 -1 0]
[-1 0 -1]
初等行变换为
[1 0 1]
[0 1 0]
[0 0 0]
得基础解系即特征向量 (1 0 -1)^T
单位化即 (1/√2 0 -1/√2)^T.
对于 λ = 0，λE-A =
[ 0 0 -1]
[ 0 0 0]
[-1 0 0]
初等行变换为
[1 0 0]
[0 0 1]
[0 0 0]
得基础解系即特征向量 (0 1 0)^T
已是单位化形式.
对于 λ = 1，λE-A =
[ 1 0 -1]
[ 0 -1 0]
[-1 0 1]
初等行变换为
[1 0 -1]
[0 1 0]
[0 0 0]
得基础解系即特征向量 (1 0 1)^T
单位化即 (1/√2 0 1/√2)^T.
取 ∧ =diag(-1, 0, 1), Q =
[ 1/√2 0 1/√2]
[ 0 1 0]
[-1/√2 0 1/√2]
则 Q^TAQ = ∧。

(3) |λE-A| =
|λ-1 2 0|
|2 λ-2 2|
|0 2 λ-3|
|λE-A| = (λ-1)(λ-2)(λ-3) - 4(λ-1) - 4(λ-3)
= (λ-1)(λ-2)(λ-3) - 8(λ-2) = (λ-2)(λ^2 -4λ-5)
= (λ+1)(λ-2)(λ-5)
得特征值 λ = -1， 2， 5
对于 λ = -1，λE-A =
[-2 2 0]
[ 2 -3 2]
[ 0 2 -4]
初等行变换为
[1 -1 0]
[0 -1 2]
[0 2 -4]
初等行变换为
[1 0 -2]
[0 -1 2]
[0 0 0]
得基础解系即特征向量 (2 2 1)^T
单位化即 (2/3 2/3 1/3)^T.
对于 λ = 2，λE-A =
[1 2 0]
[2 0 2]
[0 2 -1]
初等行变换为
[1 2 0]
[0 -4 2]
[0 2 -1]
初等行变换为
[1 0 1]
[0 2 -1]
[0 0 0]
得基础解系即特征向量 (-2 1 2)^T
单位化即 (-2/3 1/3 2/3)^T.
对于 λ = 5，λE-A =
[4 2 0]
[2 3 2]
[0 2 2]
初等行变换为
[2 1 0]
[0 2 2]
[0 2 2]
初等行变换为
[2 0 -1]
[0 1 1]
[0 0 0]
得基础解系即特征向量 (1 -2 2)^T
单位化即 (1/3 -2/3 2/3)^T.
取 ∧ =diag(-1, 2, 5), Q = (1/3)*
[2 -2 1]
[2 1 -2]
[1 2 2]
则 Q^TAQ = ∧

Answer 2

求A的特征值和特征向量，Q为特征向量组成的矩阵，再求Q的逆