Question

数学高手来！帮我解决这些问题！（要过程）

1、说明如下两个数都能被10整除的理由：①503^53-393^33②2017^1989-2003^1991
2、设2是正整数，说明2^n+7^n+2能被5整除的理由。
3、对于任意的正整数n，代数式n（n+7）-（n+3）（n-2）的值是否总能被6整除，说明理由。

Answer 1

1、说明如下两个数都能被10整除的理由：①503^53-393^33②2017^1989-2003^1991
1)503^53-393^33
个位是3的数的连续次幂的个位数字，为：
3,9,7,1,3,9,7,1。。。。。。
3,9,7，1循环，每组4个
53÷4=13余1
33÷4=8余1
503^53的个位数字为3
393^33的个位数字为3
所以503^53-393^33的个位数为0，能被10整除

2）2017^1989-2003^1991
个位数字是7的数的连续次幂的个位数字，为：
7,9,3,1,7,9,3,1。。。。。
7931循环，每组4个
1989÷4=497余1
2017^1989的个位数字为7

个位是3的数的连续次幂的个位数字，为：
3,9,7,1,3,9,7,1。。。。。。
3,9,7，1循环，每组4个
1991÷4=497余3
2003^1991的个位数字为7
所以2017^1989-2003^1991的个位数字为0，能被10整除

2、设2是正整数，说明2^n+7^n+2能被5整除的理由。
n是正整数吧？2^n+7^(n+2)
2的连续次幂，个位数字为：
2,4,8,6,2,4,8,6。。。。。。
2,4,8,6循环，每组4个
7的连续次幂，个位数字为：
7,9,3,1,7,9,3,1。。。。。。
7,9,3,1循环，每组4个
2^n和7^(n+2），对应的个位数字的和，为：
2+3=5
4+1=5
8+7=15
6+9=15
2^n+7^(n+2)的个位数字总是5，所以能被5整除

3、对于任意的正整数n，代数式n（n+7）-（n+3）（n-2）的值是否总能被6整除，说明理由。
n(n+7)-(n+3)(n-2)
=n^2+7n-n^2-n+6
=6n+6
=6(n+1)
总能被6整除

Answer 2

1（1）503^53-393^33=（500+3）^53-(390+3)^33

利用二项式定理可以展开，除了3^53-3^33其余项都是可以被10整除的。。
3^53-3^33=3^33（3^20-1)，其中利用同余的方法可以证得3^20-1是被10整除的，所以原式被10整除。。。。（2）类似的方法。。。

2.当n=3的时候，式子=353 哦 不能被5整除的。。

3.原式化简下是 6n+6 当然可以被6整除了啊

Answer 3

1.3的高次方尾数为3,9,7,1,3,9,7,1。四个数一次循环
53/4余数为1，也就是503^53尾数为3。
33/4余数为1,393^33尾数与前者相同，相减尾数为0，能被10整除
1991/4余数为3，2003^1991尾数为7
7的高次方尾数为7,9,3,1,7。也是4个数一次循环
1989/4的余数为1，2017^1989的尾数为7
相减尾数为0，也能被10整除
2.2的高次方尾数为2,4,8,6,2。也是4个数一次循环
2^n+7^n+2尾数循环为3+2,1+4,7+8,9+6，明显能被5整除
3.原式=n2+7n-n2-n+6=6n+6,只要n为正整数，值总能被6整除，且为n+1

Answer 4

1、503^N和393^N的尾数成3、9、7、1有规律无限循环，503^53的尾数为53/4=13余1，尾数为3；393^33的尾数为33/4=8余1，尾数也为3；所以503^53-393^33的结果尾数为0，能被10整除。同理2017^N的尾数成7、9、3、1有规律的循环，2017^1989的尾数为1989/4=497余1，尾数为7；2003^N的尾数成3、9、7、1有规律无限循环，2003^1991的尾数为1991/4=497余3，尾数为7。

2、2^n的尾数成2、4、8、6规律循环，7^n的尾数成7、9、3、1规律循环，2^n的尾数2对应的7^n+2的尾数为3，2^n的尾数4对应的7^n+2的尾数为1，2^n的尾数8对应的7^n+2的尾数为7，2^n的尾数6对应的7^n+2的尾数为9，^n+7^n+2的尾数为5，故能被5整除。

3、n（n+7）-（n+3）（n-2）=n^2+7n-（n^2+n-6）=6n+6=6(n+1),所以能被6整除。

Answer 5

1. 503的二次方所得值个位为9；503的三次方所得值个位为7；四次方所得个位为1；五次方所得值个位为3；六次方所得值个位为9；然后个位一直循环。那么503的53次方的个位数为3，393的33次方的个位数也为3，所以两个数作差个位数为0，因此能被10整除。
同理，2017的1989次方的个位数和2003的1991次方的个位数均为7，所以两个数作差个位数也为0，因此能被10整除。

2.好像当n=1时就不能被5整除啊！！！！！

3.n（n+7）-（n+3（n-2）=6n+6=6(n+1),因为由题意显然n+1不等于0，那么它显然能被6整除。