Question

相似矩阵的特征值相同为什么啊？

为什么相似矩阵的特征值相同？

Answer 1

所谓特征值，就是：
如果xa=Aa,那么x就是矩阵A的一个特征值，a就是对应的特征向量。

所谓两个矩阵相似，就是：
如果A=P^(-1)BP，其中P为可逆阵，那么矩阵A和矩阵B就相似。

下面解释为什么相似矩阵有相同的特征值。

如果x是矩阵A的特征值，那么有：
xa=Aa
而A和B相似，所以有
A=P^(-1）BP

代入得到：
xa=P^(-1)BPa

等式两边同时左乘P：
Pxa=BPa

由于x是一个数，所以可以提出：
x(Pa)=B(Pa)

至此证明了x也是矩阵B的特征值，同时可以发现，他对应的特征向量是（Pa）

Answer 2

假设x是矩阵A的特征值，那么有:xa=Aa

又因为A和B相似，所以有A=P^(-1)BP

将A=P^(-1)BP代入得到:xa=P^(-1)BPa

再将等式两边同时左乘P，得到Pxa=BPa

由于x是一个数，所以有x(Pa)=B(Pa)

由此可以证明x也是矩阵B的特征值，所以相似矩阵的特征值相同。

扩展资料

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

参考资料百度百科-特征值

Answer 3

方法一）
∵ Aα = λα, A = P'BP
∴ P'BPα = λα
--> B(Pα) = Pλα = λ(Pα)
∴ 矩阵A与B的特征值相同（但特征向量不同）
方法二）
证A和B特征值相同，即证 | λE - A | = | λE - B |
∵ 0 = | λE - B | = | λP'P - P'AP | = | P'(λE-A)P | = | P' | · | λE - A | · | P |
∵ P'与P可逆，故|P'|≠0且|P|≠0
∴ | λE - A | = 0 = | λE - B |
得证（利用了：行列式的展开）

Answer 4

正常的，因为结构是一样的，只是大小不同。