Question

高中数学解析几何竞赛题

在直角坐标平面里,A点(4,0),B在圆(x-2)^2+y^2=1上,以AB边做正三角形ABC(A\B\C顺时针排列），求顶点C的轨迹。

Answer 1

【注：复数z=x+yi(x,y∈R)在复平面上的对应点Z(x,y),绕原点逆时针旋转t角度后，得到的复数点为(x+yi)(cost+isint)=(xcost-ysint)+(xsint+ycost)i.】解：坐标系平移，原点移至点A,则在新坐标系下，点A(0,0),圆的方程为(x+2)²+y²=1.可设点B(cosk-2,sink),点C(x,y).易知，点C逆时针旋转60º即得点B,故(cosk-2,sink)=((1/2)x-(√3/2)y,(√3/2)x+(1/2)y).===>cosk-2=(x/2)-(√3/2)y,sink=(√3/2)x+(y/2).===>2cosk=x-(√3)y+4,2sink=(√3)x+y.两式的两边分别平方，再相加，消去参数k,得：(x+1)²+(y-√3)²=1.故在原坐标系下，点C的轨迹方程为(x-3)²+(y-√3)²=1.

Answer 2

B点(x1,y1),C(x,y)
用向量求解
|AC|=|AB||BC|cos60=|AB|=|BC|
结合(x1-2)^2+y1^2=1

Answer 3

以A为原点重建坐标系，再用旋转矩阵将B顺时针转60度
得到C点坐标，代进B的向左平移后的轨迹方程，得C的轨迹方程，再将C点向右平移4个单位，可得结果。计算较复杂，耐心算