Question

矩阵对角化问题，题目和答案都在这，麻烦写一遍过程，结果是怎么搞出来的。

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Answer 1

设矩阵A的特征值为λ那么
|A-λE|=
3-λ 6 6
0 2-λ 0
-3 -12 -6-λ
=(2-λ) [(3-λ)(-6-λ) +18]
=(2-λ)(3+λ)λ=0
解得λ=0，2，-3
λ=0时，A-0E=
3 6 6
0 2 0
-3 -12 -6 r2/2,r3+r1,r1/3
~
1 2 2
0 1 0
0 -6 0 r1-2r2,r3+6r2
~
1 0 2
0 1 0
0 0 0 得到特征向量(-2,0,1)^T
λ=2时，A-2E=
1 6 6
0 0 0
-3 -12 -8 r3+3r1
~
1 6 6
0 0 0
0 6 10 r1-r3,r3/6,交换r2r3
~
1 0 -4
0 1 5/3
0 0 0 得到特征向量(4,-5/3,1)^T
λ=-3时，A+3E=
6 6 6
0 5 0
-3 -12 -3 r2/5,r1/6,r3+3r1,r3+9r2,r1-r2
~
1 0 1
0 1 0
0 0 0 得到特征向量(-1,0,1)^T
于是得到P=
-2 4 -1

0 -5/3 0
1 1 1
再自己求一下P^(-1)吧
A=P(0,0,0 P^(-1)
...........0,2,0
...........0,0,-3)