Question

试讨论函数f(x)=ax/(x^2-1) ,x∈(-1,1)的单调性(其中a≠0)

用定义法证明，到化简那步不会了，求具体的化简过程，就是从(ax1/x1^2-1)-(ax2/x2^2-1)后的那步。
因为初中分式化简那里没学好，现在真的想死的心都有了，准备寒假好好补一下。

Answer 1

方法一：
f(x)=ax/(x²-1)
f'(x)=[a(x²-1)-2ax²]/(x²-1)
f'(x)=a(x²+1)/(1-x²)
当x∈(-1，1)时，(x²+1)/(1-x²)>0
当 a>0时， f'(x)>0，f(x)在x∈(-1，1)时，单调增
当 a<0时 ，f'(x)<0，f(x)在x∈(-1，1)时，单调减
方法二：
令x₁∈(-1，1)， x₂∈(-1，1)，且x₁<x₂
f(x₂)-f(x₁)=ax₁/(x₁²-1)-ax₂/(x₂²-1)
=[ax₁(x₂²-1)-ax₂(x₁²-1)]/[(x₁²-1)(x₂²-1)]
=a(x₂-x₁)(1+x₁x₂)/[(x₁²-1)(x₂²-1)]
因为 x₁²-1<0，x₂²-1<0，则 (x₁²-1)(x₂²-1)>0
x₂-x₁>0，1+x₁x₂>0，则 (x₂-x₁)(1+x₁x₂)>0
当 a>0时，f(x₂)-f(x₁)>0，f(x)单调增
当 a<0时，f(x₂)-f(x₁)<0，f(x)单调减

追问

方法2的第3行变成第4行的那个分子是怎么变的，就是这里不懂化简

追答

[ax₁(x₂²-1)-ax₂(x₁²-1)]
=ax₁x₂²-ax₁-ax₂x₁²+ax₂
=ax₁x₂²-ax₂x₁²-ax₁+ax₂
=ax₁x₂(x₂-x₁)+a(x₂-x₁)
=a(x₂-x₁)((x₂x₁+1)