Question

第九题哪位大神会做

Answer 1

9.
设函数g(x)=lnx，(0<a<x<b)，则g(x)在[a，b]上可导。
g'(x)=(lnx)'=1/x
由柯西中值定理得：存在c∈(a，b)，使得
f'(c)/g'(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]
f'(c)/(1/c)=[f(b)-f(a)]/(lnb-lna)
cf'(c)=[f(b)-f(a)]/ln(b/a)
f(b)-f(a)=cf'(c)ln(b/a)

追问

不是证明这个呀，还有一行字！用此结果证明那个式子。。

追答

下面实在看不清。不过，已经证出这个了，代换一下，应该就可以了。
要不你就重新拍一下，只拍下面那一行。

追问

lim(n趋向无穷) n(ξ的1/n次方-1)=lnξ，感觉好像带不进去，我在想是不是用同样的证明方法再证呢

追答

令f(t)=ξ^t
f'(t)=(ξ^t)·lnξ
令t=1/n
n→∞，则t→0
lim n(ⁿ√ξ -1)
n→∞
=lim (ⁿ√ξ -1)/(1/n -0)
n→∞
=lim (ξ^t -ξ⁰)/(t-0)
t→0
=f'(0)
=ξ⁰·lnξ
=1·lnξ
=lnξ

追问

多谢您了@ @！