Question

已知a为实数。f（x）=（x²-4）（x-a）

已知a为实数。f（x）=（x²-4）（x-a）
①求导数f′（x）；
②若f′（-1）=0，求f（x）在【-2,2】上的最大值、最小值;
③若f（x）在【-∞，-2】核【2，+∞】上都是递增，求a的取值范围。

Answer 1

1.f'(x)=(x^2-4)'(x-a)+(x^2-4)(x-a)'
=2x*(x-a)+(x^2-4)*1
=3x^2-2ax-4

2.f'(-1)=3+2a-4=0
a=1/2

f(x)=(x²-4)(x-1/2)
f'(x)=3x²-x-4=0
x=-1,x=4/3
x<-1,x>4/3,f'(x)>0,增函数
-1<x<4/3,f'(x)<0,减函数
所以x=-1是极大值点，x=4/3是极小值点
再和端点比较
f(-2)=0
f(-1)=9/2
f(4/3)=-50/27
f(2)=0
所以最大值=9/2，最小值=-50/27

3.a为实数，f(x)=(X^2-4)(X-a) =(x+2)(x-2)(x-a)
f(x)在（－∞，－2〕和〔2，＋∞）上都是递增的→
1.当x<-2,
f(x)<f(-2)=0,→(x-a)<0,x<a,→a≥-2
2.当x>2
f(x)>f(2)=0,→(x-a)>0,x>a,→a≤2
综上a的取值范围-2≤a≤2