Question

高中数学圆锥曲线

直线l：y=mx+1与椭圆c：ax^2+y^2=2交于A、B；两点，以OA、OB为邻边做平行四边形OAPB。（o为原点）。
（1）当a=2时，求点p的轨迹方程。
（2）当a,m满足a+2m^2=1，且记平行四边形OAPB的面积函数S(a），求证2小于S(a）小于4

Answer 1

解：（一）易知，a＞0.联立直线L与椭圆C的方程，得：(m²+a)x²+2mx-1=0.可设点A(x1,mx1+1),B(x2,mx2+1),P(x,y).故由题设及韦达定理知，x1+x2=-2m/(m²+a).且x=x1+x2=-2m/(m²+a),y=m(x1+x2)+2=2a/(m²+a).当a=2时，点P的坐标为x=-2m/(m²+2),y=4/(m²+2).消去参数m,得点P的轨迹方程：2x²+(y-1)²=1.(0＜y＜1).【注：因y=4/(m²+2),m∈R,故0＜y＜2】（二）因2m²+a=1,且a＞0,故0≤2m²＜1.===>-√2/2＜m＜√2/2.此时直线与椭圆的联立方程为(1-m²)x²+2mx-1=0.解该方程得：x1=1/(m-1),x2=1/(m+1).故点A(1/(m-1),(2m-1)/(m-1)),点B(1/(m+1),(2m+1)/(m+1)).由三角形面积的行列式公式可得四边形OAPB的面积S(a)=2/(1-m²).因0≤m²＜1/2,故2≤S(a)＜4.

Answer 2

把y=mx+1代入2x^2+y^2=2
求出XA+XB=-2m/(2+m^2)
YA+YB=4(2+m^2)
AB的中点即OP的中点 又因为O为原点
所以P(XA+XB,YA+YB)
令X=XA+XB,Y=YA+YB
相除的m=-2X/Y 在代入Y=YA+YB
整理得:Y^2+X^2+2Y=0
2,椭圆则a=1-2m^2>0
1/根2>m>-1根2 其中m不等于0 {只有一个交点}
把直线代入椭圆:(1-m^2)x^2+2mx+1=0
X1=1/1+m
x2=1/m-1
求出Y1 Y2
平行四边形面积可用m表示,
把m=根(1-a)/2代入上面
再求值遇