Question

问一道高二数学题，关于复数！

就是图片里的这道题，请给我过程！谢谢！
注：答案是（1+根号5）/2

Answer 1

设Z=rcosx+(rsinx)i

Z/(Z-1)=(rcosx+(rsinx)i)/(rcosx-1+(rsinx)i)

=(rcosx+(rsinx)i)(rcosx-1-(rsinx)i)/((rcosx-1)^2-(rsinx)^2)

=((r^2-rcosx)-(r^2sinxcosx)i+rsinx(rcosx-1)i)/((rcosx-1)^2-(rsinx)^2)

Z/Z-1是纯虚数,

所以:r^2-rcosx=0, r=cosx

Z=(cosx)^2+(sinxcosx)i

|Z-i|^2=|(cosx)^2+(sinxcosx-1)i|^2

=(cosx)^4+(sinxcosx-1)^2

=(cosx)^4+(sinxcosx)^2+1-2sinxcosx

=(cosx)^2+1-sin2x

=(1/2)(cos2x+1)-sin2x+1

=((根号5)/2)(sin2x(-2/(根号5))+cos2x(1/(根号5)))+(3/2)

=((根号5)/2)sin(2x+m)+(3/2), 其中:cosm=-2/(根号5),sinm=1/(根号5)

<=((根号5)+3)/2

|Z-i|<=(((根号5)+3)/2)^(1/2)

|Z-i|最大值是:((根号5)+3)/2)^(1/2) 

补充：((根号5)+3)/2)^(1/2)=（1+根号5）/2

你可以用计算器算算，都约等于1.6180339887499

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

Answer 2

答案为（【根号5】+1）/2
设Z=a+bi
代入原式，分母去虚数化
由题意，得出（a-1/2)^2+b^2=1/4
所求【Z-i】的最大值为：根号{a^2+(b-1)^2}的最大值
将a看作X，b看作Y，所求，即圆（X-1/2)^2+Y^2=1/4上的点到点（0，1）的最大值
再简单作图即可