Question

θ的范围如何求得的?

Answer 1

求出曲线在0点“附近”的斜率即可。这里采用直接求微分的方法：

即

从而得到

然后再化简，目测化为极坐标更加简单：

然后再利用正切函数的半角公式得到：

因为从图上看不出西塔角的范围，所以保留上式的正负号。为什么要用半角公式呢？因为曲线的极坐标方程含有两倍角的余弦形式，这样可以简化式子。

现在把曲线的极坐标方程方程代入得到

因为不管一点以何种方式向0趋近，它与原点的距离r必然是收敛于0的，因此上式在0点附近的值为

因此曲线在原点“附近”的斜率是正负1，因此就把极角西塔的临界值锁定在正负45°了，接下来结合图形的特征判断就行了。

做到这里其实我的内心是崩溃的，搞了半天回到曲线的极坐标方程：

当曲线上的点向坐标原点收敛的时候，也就意味着上式的坐标收敛于0，因此上式的右边也应该收敛于0，即

在曲线的光滑性比较好的时候，可以认为2西塔角收敛于正负90°。不过光滑性是必然的，一方面是因为曲线的方程很漂亮，另一方面就是：第一种解法通过原点附近的斜率来替代原点处的斜率，本身就假设曲线在原点至少是连续可导的。

Answer 2

不是求的 是背的 高数后面附录有各种曲线