Question

设函数f(x)在区间[a,+无穷)上有界连续，且对于任意的实数c，方程f(x)=c，

设函数f(x)在区间[a,+无穷)上有界连续，且对于任意的实数c，方程f(x)=c，至多只有有限个解，求证:lim x↣无穷 f(x)存在。 请问一下，这题怎么写啊？

Answer 1

f(x)在区间[a,+∞)上连续，且对于任意的实数c，方程f(x)=c，至多只有有限个解，
∴可以把区间[a,+∞)分成有限个小区间，使得f(x)在每个小区间内都是单调的，
f(x)在区间[a,+∞)上有界，
∴对于x→+∞的任意递增子序列xn,当xn充分大时f(xn)是单调有界的，于是f(xn)有极限，
又f(x)连续，故诸f(xn)的极限相同。
∴命题成立。