Question

求教一阶线性微分方程.求解y'

Answer 1

y'-2y/(x+1)-(x+1)^3=0
y'-2y/(x+1)=(x+1)^3
先求对应的齐次方程y'-2y/(x+1)=0的解,变量分离法
dy/y=2dx/(x+1)
ln|y|=2ln|x+1|+C1
y=C(x+1)^2 (其中C=正负e^C1)
然后将常数C设为关于x的函数C(x)
y=C(x)(x+1)^2即为原非齐次方程的解,带入确定C(x)即可
y'=C'(x)(x+1)^2+2(x+1)C(x)
带入y'-2y/(x+1)=(x+1)^3
C'(x)(x+1)^2+2(x+1)C(x)-2(x+1)C(x)=(x+1)^3
C'(x)=x+1
C(x)
=积分号(x+1) d(x+1)
=(x+1)^2/2+C
所以通解
y=C(x)(x+1)^2
=[(x+1)^2/2+C](x+1)^2
=(1/2)[(x+4)^4+2C(x+1)^2]
再把2C设成新的C就一样了