Question

高中数学 正弦余弦定理题目！！！速度！！

1.三角形ABC中，角ABC所对边为abc，若a=根号2，b=2，sinB+cosB=根号2，则角A=
2.三角形ABC中，D为BC上中点，AB=2,AC=1,∠BAD=30°则AD=
（第三题要解答过程）3。已知向量m=（sinA，1/2）与n=（3，sinA+根号3*cosA）共线，A为三角形ABC内角
（1）求角A
（2）若BC=2，求三角形ABC面积的最大值，并判断面积最大值时三角形ABC的形状

在6点之前做完的 加分！！！

Answer 1

1. A=30度.
因为 sinB+cosB=根号2，而 (sinB)^2+(cosB)^2=1，由此可以解出 sinB=cosB=根号2/2，因此必有 B=45度. 由正弦定理：a/sinA=b/sinB=2/(根号2/2)，且 a=根号2，所以 sinA=1/2. 又 a<b，所以 A<B，从而只能有 A=30度。

2. 根号3/2.
延长AD至E使得 DE=AD. 容易看出三角形ACD全等于三角形EBD，因此BE=AC=1，AE=2AD. 在三角形ABE中应用正弦定理：BE/sinBAE = AB/sinE.
由 BE=1，角BAE=30度，AB=2 可知 sinE=1，从而 E=90度. 因此 AE=根号3.
所以 AD=1/2AE=根号3/2.

3.
(1)因为m与n共线，所以 sinA(sinA+根号3*cosA)=(1/2)*3.
由倍角公式：
sinA(sinA+根号3*cosA)
=(sinA)^2+根号3*sinAcosA
=(1-cos2A)/2+根号3/2*sin2A
=3/2
所以 根号3*sin2A-cos2A=2。
再由辅助角公式，根号3*sin2A-cos2A=2sin(2A-30度)=2，因此 sin(2A-30度)=1，从而必有 2A-30度=90度，A=60度。
(2)由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，而 a=2，sinA=根号3/2，所以
b=(4/根号3)*sinB，c=(4/根号3)*sinC. 由三角形面积公式：
S
=(1/2)bc*sinA
=(1/2)*(16/3)*(根号3/2)*sinBsinC
=(4根号3/3)*sinBsinC (由积化和差公式)
=(2根号3/3)*[cos(B-C)-cos(B+C)] (B+C=120度)
=(2根号3/3)*[cos(B-C)+1/2] (cos(B-C)<=1)
<=(2根号3/3)*(3/2)
=根号3
由此得到三角形面积的最大值为 根号3，等号成立当且仅当 B=C. 但此时 A=60度，所以 A=B=C=60度，即三角形是等边三角形时面积最大，最大值为 根号3.

Answer 2

1.30°
2.二分之根号三
3.（1）不知道你学倍角公式没有？没有也没事，但就是计算可能麻烦些。（个人观点）利用向量共线定理可得sinA*(sinA+根号3*cosA)-3/2=0
即sin^2A+根号3sinAcosA=3/2
此处我利用倍角公式 （1-cos2A)/2+(根号3)sin2A/2=3/2
整理得 根号3sin2A-cos2A=2
合一变形 2sin(2A-30°) =2
可得 2A-30°=90°
即A=60°
（2）利用余弦定理得a^2=b^2+c^2-bc，即b^2+c^2-bc=4,利用均值不等式，可得bc≤4，且b=c时等号成立。面积表达式S=【（根号3）/4】bc,最大值为根号3，此时三角形为正三角形。（a，b,c分别表示BC,AC,AB三边）