Question

高中数学 导数部分

设a∈R，若函数y=e^ax+3x,x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围？
答案是a<-3 要详细过程 在线等 O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

若函数f(x)=e^ax+3x,x∈R有大于零的极值点
可知存在x>0使f'(x)=0

求导
f'(x)=ae^(ax)+3
在x>0时f'(x)=0有解
显然a<0
由e>1 a<0
知0<e^a<1
则(e^a)^x单调递减
又a<0
则a*(e^a)^x单调递增
f'(x)单调递增

故存在x>0使f'(x)=0
只需f(0)<0
a+3<0
a<-3

Answer 2

这个函数的导数为y'=ae^ax+3，依题意可知这个方程ae^ax+3=0有正根。
若a=0，此时的方程为3=0，不成立
所以，a不等于0
将x表示出来为x=1/aln(-3/a)，对数函数首先要有意义，真数-3/a就要大于零，所以a一定是负数，那么ln（-3/a)就也得是负数，所以0<-3/a<1,即a<-3。
综上，a<-3.

Answer 3

若函数y=e^ax+3x,x∈R有大于零的极值点，
则函数导数有大于零的根
导数=ae^ax+3=0
则x=[ln（-3/a）]/a
讨论 x>0
则第一种情况
a>0,且ln（-3/a）>0
则a>0,-3/a>1,
解得 无解

第二种情况
a<0,且ln（-3/a）<0
a<0,-3/a<1,
解得a<-3