Question

高中数学不等式问题

1、若x,y,∈R+ 且x+4y=1,则x·y的最大值为
2、已知a＞b＞0，求a²+16/b(a-b)
3、已知a,b,c,d∈{正实数}且a/b ＜ c/d 则 a/b c/d (a+c)/(b+d) 的大小顺序为什么
4、设a,b,c,d,m,n∈R+， P=√（ab)+√(cd) Q=√(ma+nc)·√(b/m + d/m) （ ） （“√”根号）
A、P≥Q B、P≤Q C、P＜Q D、P＞Q

每一道题需解答过程，谢谢

Answer 1

1.
均值 不等式：
1=x+4y≥2√(x*4y)=4√(xy)
xy≤1/16
取等条件为x=4y=1/2
x=1/2且y=1/8

2.
设c=a-b.那么a=c+b
a²+16/b(a-b)
=(b+c)²+16/(bc)
=b²+2bc+c²+16/(bc)
≥4bc+16/(bc) (均值不等式)
≥16
取等条件是b=c=√2，a=2√2

3.
a/b<(a+c)/(b+d)<c/d
证明：
由a/b<c/d，则ad<bc成立
通分
左边：
即ab+ad<ab+bc
亦即ad<bc，得证
右边：
即ad+cd<bc+cd
亦即ad<bc,得证
证毕

好想一点的方法是把a/b,c/d看成浓度（小于1的情况下），兑在一起浓度自然夹在两个的浓度中间。

4.
Q
=√(ma+nc)·√(b/m + d/m)
=√[(ma+nc)*(b/m+d/n)]
≥√(√(ab)+√(cd))² (柯西不等式)
=√（ab)+√(cd)
=P

Answer 2

1/(x+4y)=(x+y)/(x+4y)=1/y+4/x≥4/xy 提示一下

Answer 3

1、
0≤(x-4y)^2=x^2-8xy+16y^2,
16xy≤x^2+8xy+16y^2=(x+4y)^2=1,
xy≤1/16,
当x=4y时，即x=1/2,y=1/8时，等号成立，
所以，xy的最大值为1/16。
只会这个。呵呵呵几年没接触了。现在的高中就那么难啊。