Question

老师您好，我有一道题目。是老师讲的例题，不太理解。您能帮我解答一

老师您好，我有一道题目。是老师讲的例题，不太理解。您能帮我解答一下吗？某三阶控制系统的两个特征根为-5,-1+j。 写出剩余的特征根并判断系统的稳定性和响应形式。写出理由。

Answer 1

f(x)=(2+cosx)(2-sinx)=4+2(cosx-sinx)-sinxcosx.
设t=cosx-sinx,则t^2=1-2sinxcosx,即-sinxcosx=(t^2-1)/2.
所以，f(x)=4+2t+(t^2-1)/2=(1/2)*(t+2)^2+3/2.
因为t=cosx-sinx=(√2)[sin(π/4)cosx-cos(π/4)sinx]=(√2)sin(π/4-x),
又当x∈[-π/4, π/2)时，(π/4-x)∈[-π/4, π/2),
所以，-1/√2≤sin(π/4-x)<1
所以,-1≤t<√2.
因为当t>-2时,f(x)是增函数，
所以，f(-1)≤f(x)<f(√2),
即2≤f(x)<9/2+2√2。
所以，函数f(x)=(2+cosx)(2-sinx)在定义域x∈[-π/4, π/2)上的值域为
[2,9/2+2√2).