Question

锐角三角形ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且（a-b）(sinA+sinB)=(c-b)sinC。若a=根号3，求b^2+c^2范围

Answer 1

原题是:锐角ΔABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,若a=√3,求b²+c²范围.
(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC
(a-b)(a+b)=(c-b)c
得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2,且A是锐角
A=π/3
2R=a/sinA=(√3)/sin(π/3)=2
b²+c²=(2RsinB)²+(2RsinC)²
=4(sin²B+sin²C)
=2(1-cos2B+1-cos2C)
=4-2(cos2B+cos2C)
B+C=2π/3,且B,C是锐角
设B=π/3+t,C=π/3-t,其中-π/6<t<π/6
b²+c²=4-2(cos2B+cos2C)
=4-2(cos2(π/3+t)+cos2(π/3-t))
=4-4cos(2π/3)cos2t
=4+2cos2t
1/2<cos2t≤1,5<4+2cos2t≤6
所以 b²+c²的取值范围是(5,6]

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