Question

一道初二的数学题

如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN平行于BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F。
（1）求证：EO=FO
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明你的理由
（要求：写出详细证明过程谢谢）

Answer 1

解：
（1）因为EC平分∠ACB，所以∠OCE=∠BCE；
因为MN平行BC，所以∠OEC=∠BCE，所以∠OEC=∠OCE，所以OE=OC；
同理可得，OC=OF，所以OE=OF；
（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。
由（1）知，OE=OF=OC；
因为点O为AC中点，所以OA=OC；
所以四边形AECF是平行四边形；
因为OE=OC=OF，所以OE=OC=OF=OA，即AC=EF；
所以四边形AECF是矩形；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形。
由（1）知，EC平分∠ACB，所以∠ECB=∠ECO=45°；
MN平行BC，所以∠OEC=∠OCE=45°；
同理可得，∠OFC=∠OCF=45°；
即∠OCE=∠OCF，∠OCE+∠OCF=90°；
所以在（2）的条件下，当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形。

（酌情给分！）